A Möbiusz- és a Klein-transzformáció: spektrális analízis nem-irányítható sokaságokon

A klasszikus Fourier-transzformáció a kör – illetve a tórusz – harmonikus analízise, vagyis egy irányítható sokaságé. A Fourier-transzformáció mintájára két nevesített, zárt alakú, unitér transzformációs párt definiálunk a két legegyszerűbb nem-irányítható sokaságon: a Möbius-szalagon a Möbius-transzformációt (MT), a Klein-kancsón pedig a Klein-transzformációt (KT). A vezérelv az, hogy a topológiai csavarást nem a bázisfüggvényekre utólag ráragasztott fázistényező hordozza, hanem a függvényteret definiáló kényszerfeltétel – a Möbius-szalagon az antiperiodicitás, a Klein-kancsón a fedőtranszformáció-invariancia –, és ebből származtatjuk az ortogonális bázist. Megadjuk a folytonos és a diszkrét transzformációs párt, bizonyítjuk az ortogonalitást, a teljességet és a Parseval-azonosságot, megmutatjuk, hogy a diszkrét változatok FFT-vel megvalósíthatók, és a csavart szektorok bevezetésével kiterjesztjük a konstrukciót differenciálformákra, valamint vektor- és tenzormezőkre. A numerikus ellenőrzések gépi pontossággal egyeznek. A konstrukció átvihető a csavart téren végzett kvantummechanikára, Pin-felemeléseken keresztül a spinormezőkre (ahol a P^2=-1 osztály negyedegész rácsot kényszerít ki), és egy lapos háromdimenziós hányadosra, ahol egyetlen paritásszabály rögzít minden tenzorszeletet, a rotáció pedig nem szektort vált, hanem hasad. Egy vektormező Casimir-energiája a komponenseinek szektorai fölötti összeg, nem a skaláris érték többszöröse – két dimenzióban zárt alakban, háromban numerikusan, zárt alakú szektorréssel: a szektorszabály két és három dimenzióban egyaránt csökkenti az abszolút értéket, méghozzá kettőben meredekebben (9.7. Fejezet). A négy Pin-struktúra még előjelben is eltér. A korlátokat kifejezetten kimondjuk: nincs globális konvolúciós tétel, a diszkrét egydimenziós transzformáció pedig numerikusan a fél-eltolású GDFT – amit hozzáteszünk, az ennek a rácsnak a nyalábszerkezetként való olvasata, nem új algoritmus. Két záró fejezet kapcsolja a keretet máshoz: az egyik a Laplace-transzformációhoz, ahol egy antiperiodikus kép 1+e^-sT nevezője a lehetséges pólusokat a félegész MKT-rácsra teszi – ez kapcsolat, nem új matematika –, a másik a teret tükröző időeltolásokhoz, ahol egy páratlan térbeli profil szubharmonikus választ kényszerít ki: ez az időbeli csúsztatva tükrözés szimmetriájának ismert szelekciós szabálya.