Egy csavar, két nézet — a tenzorinvariáns-rendszer és a Möbius–Klein-transzformáció kapcsolata

Két, egymástól függetlenül felépített keret – a vektoranalízis egységes tenzorinvariáns-rendszere (grad/jad/dev operátorok, dimenziólétra) és a nem-irányítható felületek spektrálelmélete (Möbius- és Klein-transzformáció, szektorfelbontás) – egyetlen közös szereplőn nyugszik: az irányításon. A tenzorrendszerben az irányítás a képletek belsejében rejtőzik (az epsilon -rendező előjelváltása tükrözéskor: a „pszeudotenzor-lenyomat”); a Möbius–Klein-keretben az irányítás magába a térbe épül bele (a tér beépített „tükröt” hordoz). A dolgozat lépésről lépésre megmutatja, hogy a két keret ugyanannak a csavarnak két nézete – egy lokális-differenciális és egy globális-spektrális –, kiírja a kettő közötti pontos szótárat, és levezeti a találkozási pontjukon adódó eredményt, numerikusan megerősítve: a Klein-kancsón a rotáció szektort vált, a Helmholtz-felbontás áramfüggvénye pedig a csavart szektorban él. Ugyanez a szabály fut végig a kvantummechanikán és a spinorokon: a két szektor egy egyparaméteres kvantáláscsalád két olyan elmélete, amelyeket a geometria emel ki, és a csavartnak nullponti rése van; egy spinor Pin-osztálya rögzíti a frekvenciarácsát, a kiralitás pedig szektort vált, tehát egy szektoron belül nincs eredő kiralitás. A rotáció, az impulzusmomentum és a kiralitás egyetlen kiválasztási tétel három esetének bizonyul – paritás a blokkszerkezettel szemben, ahol a megfigyelhető rész a páros komponens –, egy dimenzióval feljebb pedig ugyanez a kritérium a rotációt komponensenként hasítja fel ahelyett, hogy váltana. Mennyiségi következményként egy vektormező Casimir-energiája a Klein-kancsón a két szektorának összege, nem a skaláris érték kétszerese, a négy Pin-struktúra pedig előjelben is eltérő vákuumenergiákat ad. Ezután következik, hogy mit jelent mindez a fizikában – a mágneses tér tükörbeli viselkedésétől a fermionos peremfeltételekig – és a mérnöki gyakorlatban; a kozmológiai kitekintés kimondja az E–B előjel-szignatúra sejtését, és felvázolja a csavart kompaktifikálási programot, majd sorra veszi az átjárást és az időt, a Lorentz-boosttól a Matsubara-hőmérsékletig. A szótár egyik sorát élesítjük: a rotáció és a jad ugyanaz a szelet két különböző olvasatban – a jad tenzoros alakja nem hordoz epsilon -t, és egyértékű a Klein-kancsón, míg a rotáció mint duális olvasat szektort vált, ezért nem-irányítható téren jobb jadban számolni. Ebből az egész létrára eldönthető kritérium adódik: egy létrafok akkor és csak akkor vihető át változatlanul, ha a szelektora páros számú epsilon -t tartalmaz. Végül egy anyagfizikai következmény a harmadrendű létrafokon: az irányításfordító hurkon a Burgers-vektornak a tükrözött irány menti komponense vált előjelet, tehát a vektor nem globális állandó, hanem szektorfüggő mennyiség.