A rotáció szektorszabálya a Klein-kancsón és tömör párján – a deriválttenzor-szeletek szektorviselkedése két és három dimenzióban

A tenzorinvariáns rendszer (grad/jad/dev) és a Möbius–Klein-transzformáció keretének találkozási pontján éles állítás fogalmazható meg: a Klein-kancsón egy valódi vektormező rotációja a másik szektorban él (csavart skalár), miközben a div egészében a páros szektorban marad, a dev pedig – noha valódi tenzor – komponensenként hasad: az átlós komponense páros, az átlón kívüli páratlan. Ami a rotációt elkülöníti, az a tenzorrendszer „pszeudotenzor-lenyomata”: a rot az epsilon -rendező terméke, és epsilon előjelet vált az irányításfordító fedőtranszformáció hatására. A div paritása és a dev komponenseinek paritása pusztán az indexparitásokból adódik. Következmény: a Helmholtz-felbontásban a skalárpotenciál a páros szektorban él, az áramfüggvény viszont a csavart szektorban. Az állításláncot gépi pontosságú ellenőrzés erősíti meg a fedőtóruszon, ellenpróbával együtt. Egy dimenzióval feljebb a kép nem ismétlődik, hanem finomodik: három dimenzióban a rotáció ismét csavart (axiális) mező, és egészében szektort vált, komponensmintája viszont a poláris minta tükörképe – a tükrözött tengely menti komponens páros, a két merőleges páratlan. Ez pontonkénti állítás, és a tömör Klein-kancsóra is átvihető. Maga a számítás zárt lapos modellen fut, és ott mutatkozik meg, hogy a Helmholtz-felbontás vektorpotenciálja ugyanezt a mintát követi; ez az állítás globális, a tömör kancsóra nem mondjuk ki. A mindezek mögött álló paritásszabály klasszikus; az adott geometriára kiírt alakját a társcikkből vesszük át, amelynek igazolására pontos helymegjelöléssel hivatkozunk. Az építőkövek – az irányításnyaláb, a csavart formák és az a tény, hogy a Hodge-dualitás formákat csavart formákba visz – klasszikusak, és klasszikus a szeletenkénti olvasatuk is; amit ez a dolgozat hozzátesz, az a szabály explicit kimondása a két dimenzióra, egymás mellett, és a kétdimenziós eset ellenpróbával kísért numerikus ellenőrzése: nem új tétel, hanem használható szabálykönyv.