Curl-spektrum nem-irányítható geometrián: szektor-dublettek, eltűnő helicitás és Beltrami-párok

A rot operátor spektrálelmélete zárt 3-sokaságokon kidolgozott és aktív terület — de kizárólag irányított sokaságokon, mert a rot definíciója irányítást kíván. Ez a cikk a nem-irányítható oldalt nyitja meg a szektor-kalkulussal. A kulcs egy egysoros algebra: a nem-irányítható hányados fedéstranszformációja antikommutál a rot-tal. Ebből három tétel következik. (T1) Nem-irányítható lapos háromsokaságon nincs egyszektoros Beltrami-tér: a rot B = lambda B egyenletnek lambda != 0 mellett sem közönséges, sem tisztán csavart megoldása nincs. (T2) A spektrum szektor-dublettekbe szerveződik: a fedőn a spektrum lambda -lambda szimmetrikus, minden rot^2-sajátaltér pontosan felében páros, felében páratlan szektorú, és a rot a kettő közti átvivő — a kiralitás nem hányados-megfigyelhető mennyiség. (T3) Minden szektor-tiszta mező teljes helicitása azonosan nulla; a Woltjer–Taylor-féle helicitás-kényszer nem-irányítható tartományon trivializálódik, a relaxált állapotok a szektor-párosított rot^2-sajátterek. A lapos Klein-háromsokaság (K^2 x S^1) modelljén az első sajátértékek táblája: lambda^2 = 1, 2, 3, 4 dimenziókkal 12, 24, 16, 12, mindenütt pontos szektor-felezéssel. Minden állítást determinisztikus, ellenpróbás szkript igazol (21/21). A tételek forrása a keret szektorváltó-rot tétele és a tömör Klein-kancsó komponens-szabálya.