Fast sichere Konvergenz: Reihenkriterium

Fast sichere Konvergenz einer Folge $(X_n)$ von Zufallsvariablen gegen eine Zufallsvariable $X$ bedeutet punktweise Konvergenz von $X_n$ gegen $X$ auf einer Teilmenge des gemeinsamen Definitionsbereiches, die die Wahrscheinlichkeit eins besitzt. Dieser Konvergenzbegriff ist im Allgemeinen stärker als der der stochastischen Konvergenz. Konvergiert für jede positive Zahl $a$ die aus den Wahrscheinlichkeiten, dass sich $X_n$ von $X$ betragsmäßig um mehr als $a$ unterscheidet, gebildete Reihe, so konvergiert $X_n$ fast sicher gegen $X$. Im Video wird dieses Reihenkriterium bewiesen. Als Anwendung wird gezeigt, dass im Fall unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen das starke Gesetz großer Zahlen gilt, wenn das vierte Moment dieser Zufallsvariablen existiert. Im Video wird eine Charakterisierung der fast sicheren Konvergenz verwendet, die in diesem Video vorgestellt wird: Entscheidendes Hilfsmittel im Beweis ist das Lemma von Borel--Cantelli.