Algèbres et volumes des polytopes

Les volumes des polytopes et de leurs faces sont riches en propriétés : invariance, convexité du volume, polynomialité et log-concavité du volume mixte, caractérisation d’un polytope en fonction du volume et de la direction de ses facettes, ou de ses arêtes, etc. Certaines de ces propriétés se comprennent mieux en introduisant un objet particulièrement élégant : l’algèbre des polytopes de McMullen. Pour pousser plus loin l’analyse, il faut étudier les propriétés dites kählériennes de cette algèbre. On peut les voir comme des propriétés de convexité algébriques. Cela nous permettra par exemple de retrouver des résultats importants comme les inégalités sur les volumes d’Alexandrov-Fenchel ou de Brunn-Minkowski. Ces propriétés kählériennes étaient initialement l’objet d’étude de la théorie de Hodge en géométrie complexe. Cette théorie est désormais appliquée dans de nombreuses autres branches des mathématiques, comme ici en combinatoire, mais aussi en algorithmique ou dans l’étude de géométries plus exotiques.