"Theory of the Functional Connections" applied in temporary gravitational capture

This thesis presents the Theory of Functional Connections (TFC) and some applications in Celestial Mechanics, with a special focus on the temporary gravitational capture problem based on the circular (and elliptical) restricted three-body problem. The work introduces the concept of TFC through the solution of simple problems, such as the solution of second-order differential equations, followed by the solution of simple celestial mechanics problems, such as the calculation of circular and elliptical Keplerian orbits, not subject to perturbations. More complex cases are presented, such as the circular restricted three-body problem (CR3BP), culminating in the temporary gravitational capture problem. The TFC solution is compared with classical solutions, obtained through numerical integration. Some useful properties and applications are discussed, such as the solution of the elliptical restricted three-body problem (ER3BP) through TFC, initializing the method with the numerical solution of the circular problem, the solution of CR3BP with perturbations, starting from the CR3BP unperturbed and the analysis of non-capture regions around the primary. A performance analysis of this method and the conclusions are finally presented. RESUMO: Esta tese apresenta a Theory of Functional Connections (TFC), ou Teoria das Conexões Funcionais, e algumas aplicações em Mecânica Celeste, com especial foco no problema de captura gravitacional temporária baseado no problema restrito dos três corpos, tanto em sua versão circular quanto em sua versão elíptica. O trabalho introduz o conceito da TFC através da solução de problemas simples, como a solução de equações diferenciais de segunda ordem, seguido da solução de problemas básicos de mecânica celeste, como o caso do cálculo de órbitas circulares e elípticas keplerianas, não sujeitas a perturbações. Casos mais complexos são apresentados, como o problema circular restrito dos três corpos (PCR3C), culminando no problema de captura gravitacional temporária. A solução via TFC é comparada com soluções clássicas, obtidas através de integração numérica. Algumas propriedades e aplicações úteis são discutidas, tais como a solução do problema restrito elíptico dos três corpos (PER3C) através da TFC inicializando o método com a solução numérica do problema circular, a solução do PCR3C com perturbações, partindo do PCR3C não perturbado e a análise das regiões de não captura em torno do primário. Uma análise de desempenho deste método e as conclusões são finalmente apresentadas.