Free by free-abelian groups: isomorphisms and algorithmic questions

Estudiem el problema de l’isomorfisme i el grup d’automorfismes dels grups lliure-per-lliure-abelià (FBFA), és a dir, grups de la forma $F_n \rtimes \mathbb{Z}^m$, generalitzant els grups lliure-per-cíclics. Analitzem la classe dels grups FBFA complets, per als quals el problema de l’isomorfisme admet una descripció explícita, i mostrem que els grups FBFA complets isomorfs tenen imatges conjugades de l’acció exterior induïda en $Out(F_n)$. Estudiem el subgrup d’automorfismes que preserven $F_n$, el qual coincideix amb el grup complet d’automorfismes en el cas complet. Finalment, en el cas $n = 2$, demostrem que dos grups FBFA són isomorfs si i només si les seves imatges exteriors induïdes són conjugades en $Out(F_2)$, i en deduïm que el problema de l’isomorfisme és decidible algorítmicament, així com el càlcul del grup d’automorfismes.