Geometrías no euclideanas

Entendemos por geometrías no euclideanas las que conservan todos los postulados de Euclides, salvo uno de ellos: El postulado de las paralelas. El objetivo que me propongo aquí, siquiera sea someramente, describir esas geometrías, a partir del nuevo conjunto de postulados de la geometría plana, establecidos por Hilbert. Dos serán las geometrías a considerar: La hiperbólica y la elíptica, estableciendo para cada una de ellas sendos modelos. En cuanto a la primera, la hiperbólica, serán dos los modelos desarrollados: El de Klein y el de Poincaré. El primero precisa de un cierto conocimiento de la denominada homología, mientras que para el segundo es preciso manejar con soltura la inversión en el plano, conocimientos que debería poner el estudiante. Por si acaso les remito a los apéndices, en los que tanto la homología como la inversión están tratados ampliamente. En cuanto a la segunda, la elíptica, también serán dos los modelos desarrollados: la geometría esférica y la propia geometría elíptica. Recordemos como creadores de la geometría hiperbólica a Lobachevski, Bolyai, Gauss y de la geometría elíptica a Riemann, en particular, a la geometría métrica euclideana, se le suele llamar parabólica. El libro consta de tres capítulos y un total de siete lecciones pensadas para facilitar un estudio escalonado. Así tenemos; Capítulo I: Lección 1.- Se comentan ampliamente los elementos de Euclides, y se plantean, limitándonos a la geometría plana, los cinco grupos de axiomas establecidos por Hilbert, como réplica moderna de tales elementos. Se apuntan ya, como casos particulares de la geometría proyectiva, según la clasificación establecida por F. Klein, las tres geometrías que nos va a interesar: La euclideana (de Euclides), la hiperbólica (de Lobachevski, Bolyai) y la elíptica (de Riemann). Lección 2 y 3.- Se construye el primer modelo de la geometría hiperbólica, el denominado “modelo proyectivo de Klein”, dándole lo que consideró suficientes pinceladas para su mejor comprensión. Capítulo II: Lección 4, 5 y 6.- Se construye el segundo modelo de la geometría hiperbólica, debido a H. Poincaré, que corre en paralelo con el anterior de Kein, con la particularidad de que la herramienta principal utilizada es, en este caso, la inversión, mientras en el de Klein era la homología. Capítulo III: Lección 7.- Se estudia aquí la geometría elíptica, en una doble versión, generadas por la denominada geometría de la “radiación de rectas”. De esta geometría cabe destacar que, a diferencia de la hiperbólica, a la que ocasionalmente se la denomina “no euclideana absoluta”, por verificar los cuatro primeros axiomas de Euclides, la elíptica no los respeta totalmente; sin embargo, ambas tienen en común la negación del quinto axioma. De alguna manera complementa, este libro, al conjunto de los cinco que conformaron mi “Miscelánea de la Geometría”, dedicada, en forma exhaustiva, al desarrollo de la geometría métrica euclideana.