Analyse I, Partie 1

Avant proposCes notes de cours ont été principalement rédigées durant l'année académique 2023-2024 et sont destinées aux étudiants du cours d'Analyse I, Partie 1, dispensé dans le bloc 1 du cursus en Sciences Physiques.L'objectif principal de ce cours est de fournir une base solide en analyse, essentielle pour développer une compréhension rigoureuse des concepts mathématiques fondamentaux qui seront utilisés tout au long des études en Sciences Physiques.Le premier chapitre introduit la théorie naïve des ensembles, en posant les fondations du langage mathématique et des concepts d'ensemble, d'application, de bijection et d'ensembles dénombrables.Le deuxième chapitre est consacré à l'étude des nombres réels, en détaillant leurs propriétés essentielles comme le principe d'Archimède et les bornes inférieures et supérieures.Ce chapitre pose également les bases des nombres complexes, un outil indispensable en analyse.Les troisième et quatrième chapitres explorent les suites réelles et complexes.Les concepts de convergence, divergence, et les différentes techniques pour l'étude des limites sont introduits.Le quatrième chapitre se concentre sur des suites particulières, appelées les séries.Des critères de convergence sont introduits, tels que le critère de comparaison, le critère de la racine, et le critère du quotient.Les chapitres suivants approfondissent l'étude des fonctions, en commençant par les fonctions d'une variable réelle et leurs graphes, les limites, et la continuité.Les notions de dérivabilité et les propriétés des fonctions dérivables sont abordées, en introduisant des outils tels que le théorème de Taylor et la règle de l'Hôpital, qui permettent une analyse fine du comportement local des fonctions.Enfin, le cours s'étend à l'étude des fonctions de plusieurs variables, en explorant la continuité, la différentiation partielle, et les gradients, ainsi que l'étude des extrema.Les fonctions élémentaires telles que les fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques, et hyperboliques sont également détaillées, fournissant une vue d'ensemble des fonctions fondamentales en analyse.Ces notes de cours ont été rédigées sur la base de nombreux échanges avec Laura Remacle et Savinien Kreczman, qui m'ont également aidé à élaborer les listes d'exercices correspondantes.Je les remercie chaleureusement pour leur aide précieuse.Je tiens également à remercier les étudiants de première année en Sciences Physiques de l'année académique 2023-2024, qui ont signalé de nombreuses coquilles dans la première version des notes.Finalement, je remercie Patrick Esser pour ses relectures attentives et ses nombreux conseils.v