On Biproduct Quasi-Hopf Algebras

La definizione di algebra quasi-Hopf, introdotta da Drinfeld nel 1990, è ottenuta rilassando la coassociatività nella definizione di algebra di Hopf. La loro importanza risiede nel loro legame con le categorie monoidali; sono infatti rilevanti ogni volta che è necessario considerare una categoria "non-strict", ossia quando l'associatività del prodotto tensoriale è determinata da un isomorfismo non triviale. Ispirati dal lavoro di Radford, per un'algebra quasi-Hopf H arbitraria, descriviamo tutte le algebre di Hopf di dimensione 2 nella categoria di moduli Yetter-Drinfeld sinistri su H, e determiniamo le algebre biprodotto quasi-Hopf ad esse associate unicamente. Otteniamo diverse classi di questi biprodotti prendendo per H l'algebra di Hopf delle funzioni su un gruppo G, dotata della struttura di algebra quasi-Hopf attraverso un 3-cociclo di G, o un'algebra quasi-Hopf con radicale di codimensione 2. Dedichiamo particolare attenzione ad analizzare il caso in cui G è un gruppo abeliano finito. Attraverso queste costruzioni, otteniamo nuovi esempi di algebre quasi-Hopf. Il risultato di classificazione precedentemente nominato viene utilizzato per completare la classificazione delle algebre quasi-Hopf in dimensione 6, dimostrando che tutte queste sono semisemplici. Come conseguenza secondaria, otteniamo esempi di quasi-bialgebre non-semisemplici, oltre alla lista completa delle algebre quasi-Hopf di dimensione 6, precedentemente classificate da Etingof e Gelaki in termini delle loro categorie di rappresentazione.