Hypoelliptic Partial Differential Equations: regularity theory and applications to degenerate McKean-Vlasov processes

In questa tesi studiamo alcune equazioni alle derivate parziali degeneri, caratterizzate da una proprietà di regolarizzazione ipoellittica che compensa l’assenza di uniforme ellitticità. La prima parte è dedicata alla teoria della regolarità per una classe di operatori subellittici su gruppi di Carnot. Inizialmente analizziamo alcune proprietà di regolarità di operatori stazionari con coefficienti Hölder continui. Adattiamo innanzitutto il metodo della paramatrice di Levi per stabilire l’esistenza di una soluzione fondamentale locale. Quindi, otteniamo nuovi risultati sul principio del massimo forte e sulla disuguaglianza di Harnack invariante, usando la tecnica della formula di media originariamente sviluppata per le funzioni armoniche. Successivamente, stabiliamo risultati analoghi per i corrispondenti operatori evolutivi. In questo contesto, per superare alcuni limiti della formula di media, utilizziamo il metodo di Kuptsov per ottenere un nucleo migliorato, e ne dimostriamo la limitatezza mediante la tecnica di lifting di Rothschild e Stein. Questi risultati si basano fortemente sulle proprietà della geometria sub-Riemanniana associata a tali operatori subellittici, ed in particolare sulla distanza di Carnot-Carathéodory da essi indotta. Nella seconda parte analizziamo alcuni processi stocastici di McKean-Vlasov studiandone la densità associata, che soddisfa un’equazione di Kolmogorov non lineare e degenere. In primo luogo studiamo il modello di Kuramoto di campo medio con inerzia e rumore, affrontando i corrispondenti problemi di Cauchy. Stabiliamo esistenza, unicità e alcune stime precise, e proponiamo uno schema alle differenze finite per calcolare numericamente la densità. Successivamente studiamo un problema di controllo ottimo di tipo McKean-Vlasov. Mostriamo dapprima che il problema di campo medio fornisce una buona approssimazione del problema di controllo ottimo a dimensione finita, dimostrando la Γ-convergenza dei corrispondenti funzionali di costo. Applichiamo quindi il formalismo Lagrangiano per derivare le condizioni di ottimalità del primo ordine per gli ottimizzatori. Infine, tali condizioni di ottimalità vengono implementate in un algoritmo di discesa del gradiente.