Spectral Analysis of Schroedinger Operators with Quadratic Confinement Potentials in Electric and Magnetic Fields

Questa tesi analizza una classe di operatori di Schrödinger con potenziali di confinamento scalari a crescita quadratica. Lo studio è incentrato sulle proprietà spettrali di tali operatori e su come la geometria del potenziale scalare influenzi il comportamento delle autofunzioni. Nel caso puramente elettrico, si dimostra che lo spettro dell’operatore è discreto grazie all’immersione compatta dello spazio di Hilbert pertinente. Vengono inoltre stabiliti limiti inferiori espliciti per l’energia dello stato fondamentale, stime di stabilità spettrale e stime di decadimento a priori della norma uniforme delle autofunzioni all’infinito. Inoltre, si ottengono risultati di convergenza che mostrano come lo spettro e gli autospazi si avvicinino a quelli dell’oscillatore armonico quantistico classico. L’analisi viene poi estesa alla presenza di un campo magnetico, sotto opportune ipotesi di regolarità e crescita sul potenziale vettore. Tali ipotesi sono sufficientemente generali da includere il caso di un campo magnetico uniforme non banale. L’impiego di disuguaglianze di tipo Kato e di argomenti perturbativi consente di estendere al contesto magnetico i principali risultati spettrali e di regolarità ottenuti nel caso elettrico.