Kvasikonformikuvaukset ja tasainen tiheysominaisuus

Työn aiheena ovat kaksi funktioiden (tarkemmin ottaen homeomorfismien) ominaisuutta, kvasikonformisuus sekä tasainen tiheysominaisuus. Molemmat ominaisuudet liittyvät siihen, miten kuvaukset muuttavat pienten joukkojen ominaisuuksia. Käytännössä työssä keskitytään pienten pallojen tarkasteluun. Kvasikonformikuvaukset venyttävät infinitesimaalisen pieniä palloja ääreellisen määrän, kun taas tasainen tiheysominaisuus kertoo funktion tiheyden muuttuvan jatkuvalla tavalla jokaisen pisteen ympäristössä. Työ käsittelee F.W. Gehringin ja J.C. Kellyn artikkelissa [3] esiteltyä todistusta, jonka perusteella kvasikonformius ja tasainen tiheysominaisuus ovat ekvivalentteja funktioiden ominaisuuksia. Työssä laajennetaan todistuksen osa, joka osoittaa tasaisen tiheysominaisuuden seuraavan kvasikonformisuudesta ja kirjoitetaan se kandidaattitason opiskelijalle ymmärrettävään muotoon. Tärkeimpiä matemaattisia työkaluja ja tuloksia, joita työssä käytetään, ovat Lebesguen mitta, L^n-integroituvuus, funktion maksimivenyminen ja yleistetty Jacobiaani, sekä Hölderin epäyhtälö. Todistus on tehty R^n-avaruuksissa, joissa n ≥ 2.